「円周の長さ」と「角度」と「三角関数」の定義の順番の話

東（アズマ）です。
ChatGPTが数学の話が出来るようになって来ました。
私も度々使っています。

さて、日本の数学教育では、以下の学習をします。

・小学校：円周の長さ（直径×円周率）、角度（度数法、°）
・中学校～高校（数ⅠかⅡ）：三角関数、角度（弧度法、rad）
　高校（数Ⅱか数Ⅲ）：曲線の長さ（積分を使うやつ）

ざっくり言うと、
円周の長さ　→角度（弧度法）　→　三角関数　→　曲線の長さ（積分）
の順で学習をします。

ここで問題になってくるのが、「曲線の長さ（積分）として円周の長さを算出すると、結局循環論法になってないか？」ということです。
「（ある直径に対する）円周の長さ」を基に円周率や角度（弧度法）が定義され、
これを基に三角関数が定義され、
三角関数を基に「円周の長さ」を算出することになるからです。

じゃあ最初の「円周の長さ」はどこから出たのかと。

大学数学では、この循環論法を避けるために、通常、
まずは「三角関数」を（Taylor展開やら微分方程式の解やらとして）先に定義して、
これを基に「円周率」を定義して、
別な一般論で「曲線の長さ」を定義して、
これらを基に「円周の長さ」の算出が出来る……という論理構造になります。
（角度は、計量を入れて定義します）

ただ、よくよく考えてみれば、小学生から慣れ親しんだ「円周の長さ」「円周率」を軸に、
循環論法なしに定義をすることも、頑張れば出来そうだなと気付きます。

つまり、①「円周の長さ」が存在することを（一般論で）証明して、
②「円周率（=円周の長さ／直径）」が（円の取り方によらず）well-definedであることを証明して、
「角度（弧度法）」を「円周（及び円弧）の長さ」を基に定義して、
「三角関数」を「角度（弧度法）」を基に定義する……ということも、可能だろうなあと。

このあたりまで考えて、試しにChatGPTにこの流儀で三角関数の定義までやらせてみたら、
ちゃんと定義してもらうことが出来ました。
（むしろ、細かなところで、私の錯覚・誤った仮定も正してもらいました……）

パッと思いついたことをやってもらえるのは便利で良いですね。